ባለአራትዮሽ ቀመርን እንዴት መሳል እንደሚቻል -10 ደረጃዎች (ከስዕሎች ጋር)

2024 ደራሲ ደራሲ: Robert Blare | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2024-02-02 02:05

ግራፍ ሲደረግ ፣ የቅጹ ባለአራትዮሽ እኩልታዎች መጥረቢያ² + bx + c ወይም ሀ (x - h)² + ኪ ፓራቦላ ተብሎ የሚጠራውን ለስላሳ የ U- ቅርፅ ወይም የተገላቢጦሽ የ U- ቅርፅ ኩርባ ይስጡ። ባለአራትዮሽ ቀመርን መሳል የእሱን ጫፍ ፣ አቅጣጫ ፣ እና ብዙውን ጊዜ የ x እና y አቋራጮችን የማግኘት ጉዳይ ነው። በአንጻራዊነት ቀላል ባለአራትዮሽ እኩልታዎች ሁኔታዎች ውስጥ ፣ የ x እሴቶችን ክልል ውስጥ ለመሰካት እና በተገኙት ነጥቦች ላይ በመመስረት ኩርባን ለመንደፍ በቂ ሊሆን ይችላል። ለመጀመር ከዚህ በታች ደረጃ 1 ን ይመልከቱ።

ደረጃዎች

ደረጃ 1. የትኛውን የአራትዮሽ ቀመር እንዳለዎት ይወስኑ።

የአራትዮሽ እኩልታ በሦስት የተለያዩ ቅርጾች ሊፃፍ ይችላል -መደበኛ ቅጽ ፣ የአከርካሪ ቅርፅ እና አራት ማዕዘን ቅርፅ። ባለአራትዮሽ ቀመርን ለመሳል ሁለቱንም ቅፅ መጠቀም ይችላሉ ፣ እያንዳንዳቸውን የመሳል ሂደት ትንሽ የተለየ ነው። የቤት ስራ ችግር እየሰሩ ከሆነ ፣ ብዙውን ጊዜ ችግሩን ከእነዚህ ሁለት ቅጾች በአንዱ ይቀበላሉ - በሌላ አነጋገር ፣ እርስዎ መምረጥ አይችሉም ፣ ስለዚህ ሁለቱንም መረዳት የተሻለ ነው። ሁለቱ የአራትዮሽ እኩልታዎች ዓይነቶች -

• መደበኛ ቅጽ።

  በዚህ ቅጽ ፣ ባለአራትዮሽ ቀመር እንደሚከተለው ተፃፈ - ረ (x) = መጥረቢያ² + bx + c ሀ ፣ ለ እና ሐ እውነተኛ ቁጥሮች ሲሆኑ ሀ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም።

  ለምሳሌ ፣ ሁለት መደበኛ ቅጽ አራትዮሽ እኩልታዎች ረ (x) = x ናቸው² + 2x + 1 እና ረ (x) = 9x² + 10x -8።

• የአከርካሪ ቅርፅ።

  በዚህ ቅጽ ፣ ባለአራትዮሽ እኩልታው እንደሚከተለው ተፃፈ - f (x) = a (x - h)² + k የት ሀ ፣ ሸ እና k እውነተኛ ቁጥሮች ሲሆኑ ሀ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም። የቬርቴክስ ቅጽ እንዲሁ ተሰይሟል ምክንያቱም ኤች እና ኬ በቀጥታ (ነጥብ ፣ ሸ) ላይ የፓራቦላዎን ጫፍ (ማዕከላዊ ነጥብ) ይሰጡዎታል።

  ሁለት የከርሰ ምድር ቅርፅ እኩልታዎች f (x) = 9 (x - 4) ናቸው² + 18 እና -3 (x - 5)² + 1

• ከእነዚህ የእኩልታዎች ዓይነቶች አንዱን ለመሳል በመጀመሪያ የከርቦው “ጫፍ” ላይ ማዕከላዊ ነጥብ (ሸ ፣ ኬ) የሆነውን የፓራቦላውን ጫፍ መፈለግ አለብን። በመደበኛ ቅጽ ውስጥ የቋሚው መጋጠሚያዎች በ: h = -b/2a እና k = f (h) የተሰጡ ናቸው ፣ በአዕራፍ ቅርፅ ፣ h እና k በቀመር ውስጥ ተገልፀዋል።

ደረጃ 2. ተለዋዋጮችዎን ይግለጹ።

ባለአራትዮሽ ችግርን ለመፍታት ፣ ተለዋዋጮች ሀ ፣ ለ ፣ እና ሐ (ወይም ሀ ፣ ሸ እና k) ብዙውን ጊዜ መገለጽ አለባቸው። የአማካይ አልጀብራ ችግር ከተለመዱት ተለዋዋጮች ጋር ባለ አራት ማዕዘን ቀመር ይሰጥዎታል ፣ ብዙውን ጊዜ በመደበኛ መልክ ፣ ግን አንዳንድ ጊዜ በአከርካሪ መልክ።

• ለምሳሌ ፣ ለመደበኛ ቅጽ እኩልነት ረ (x) = 2x² + 16x + 39 ፣ እኛ = 2 ፣ ለ = 16 እና ሐ = 39 አለን።
• ለ vertex ቅጽ ቀመር f (x) = 4 (x - 5)² + 12 ፣ እኛ = 4 ፣ ሸ = 5 እና k = 12 አለን።

ደረጃ 3. ሂ

በ vertex form equations ውስጥ ፣ ለ h ዋጋዎ ቀድሞውኑ ተሰጥቷል ፣ ግን በመደበኛ የቅጽ እኩልታዎች ውስጥ ፣ እሱ ሊሰላ ይገባል። ያስታውሱ ፣ ለመደበኛ የቅጽ እኩልታዎች ፣ h = -b/2a።

• በእኛ መደበኛ ቅጽ ምሳሌ (ረ (x) = 2x)² + 16x + 39) ፣ h = -b/2a = -16/2 (2)። መፍታት ፣ h = የሚለውን እናገኛለን - 4.
• በእኛ የአከርካሪ ቅርፅ ምሳሌ (f (x) = 4 (x - 5)² + 12) ፣ ምንም ሂሳብ ሳናደርግ h = 5 እናውቃለን።

ደረጃ 4. ማስላት k

ልክ እንደ h ፣ k ቀድሞውኑ በ vertex form equations ውስጥ ይታወቃል። ለመደበኛ ቅጽ እኩልታዎች ፣ k = f (h) መሆኑን ያስታውሱ። በሌላ አገላለጽ ፣ በእኩልዎ ውስጥ እያንዳንዱን የ x ምሳሌን ለ h ካገኙት እሴት ጋር በመተካት k ማግኘት ይችላሉ።

• በመደበኛ ቅጽ ምሳሌያችን ወስነናል h = -4. K ን ለማግኘት ፣ የእኛን ቀመር ለ x መተካት x ን በእኛ እሴት እንፈታዋለን-

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39።

  • k = 32 - 64 + 39 =

    ደረጃ 7.

• በእኛ የ vertex ቅጽ ምሳሌ ፣ እንደገና ፣ ምንም ሂሳብ ሳያስፈልግ የ k (12 ን ነው) ዋጋን እናውቃለን።

ደረጃ 5. ጫፍዎን ያቅዱ።

የፓራቦላዎ ጫፍ ነጥብ (ሸ ፣ k) ይሆናል - ሸ የ x አስተባባሪውን ይገልጻል ፣ k ደግሞ የ y አስተባባሪውን ይገልጻል። ጫፉ በእርስዎ ፓራቦላ ውስጥ ማዕከላዊ ነጥብ ነው - ወይም የ “ዩ” ታች ወይም ከላይ ወደታች “ዩ” አናት። ጠርዙን ማወቅ ትክክለኛውን ፓራቦላ ለመሳል አስፈላጊ አካል ነው - ብዙውን ጊዜ ፣ በትምህርት ቤት ሥራ ውስጥ ፣ ጫፉን መግለፅ የጥያቄው አስፈላጊ አካል ይሆናል።

• በእኛ መደበኛ የቅፅ ምሳሌ ፣ የእኛ አከርካሪ በ (-4 ፣ 7) ይሆናል። ስለዚህ ፣ የእኛ ፓራቦላ ከ 0 እና ከ 7 ክፍት ቦታዎች (0 ፣ 0) በስተግራ 4 ቦታዎችን ከፍ ያደርጋል። መጋጠሚያዎችን መሰየምን እርግጠኛ በመሆን ይህንን ነጥብ በግራፋችን ላይ ማቀድ አለብን።
• በእኛ የአከርካሪ ቅርፅ ምሳሌ ፣ የእኛ ጫፉ በ (5 ፣ 12) ላይ ነው። ነጥብ 5 ቦታዎችን ወደ ቀኝ እና ከላይ 12 ቦታዎችን (0 ፣ 0) ማቀድ አለብን።

ደረጃ 6. የፓራቦላውን ዘንግ (አማራጭ) ይሳሉ።

የፓራቦላ ዘንግ (ሲምሜትሪ) ዘንግ በመሃል ላይ የሚያልፍ መስመር ሲሆን ይህም በግማሽ በትክክል ይከፍለዋል። በዚህ ዘንግ በኩል የፓራቦላው ግራ ጎን በስተቀኝ በኩል ያንፀባርቃል። ለቅጽ መጥረቢያ አራት ማዕዘኖች² + bx + c ወይም a (x - h)² + k ፣ ዘንግ ከ y- ዘንግ (በሌላ አነጋገር ፣ ፍጹም አቀባዊ) ጋር ትይዩ የሆነ መስመር እና በቋፍ በኩል የሚያልፍ መስመር ነው።

በእኛ መደበኛ ቅጽ ምሳሌ ፣ ዘንግ ከ y- ዘንግ ጋር ትይዩ እና ነጥቡን (-4 ፣ 7) የሚያልፍ መስመር ነው። ምንም እንኳን የፓራቦላ አካል ባይሆንም ፣ ይህንን መስመር በግራፍዎ ላይ በቀስታ ምልክት ማድረጉ በመጨረሻ ፓራቦላውን እንዴት እንደሚዛመድ ለማየት ይረዳዎታል።

ደረጃ 7. የመክፈቻውን አቅጣጫ ይፈልጉ።

የፓራቦላውን ጫፍ እና ዘንግ ከተረዳን በኋላ ፣ ፓራቦላው ወደ ላይ ወይም ወደ ታች ይከፈት እንደሆነ ማወቅ አለብን። እንደ እድል ሆኖ ፣ ይህ ቀላል ነው። “ሀ” አዎንታዊ ከሆነ ፣ ፓራቦላው ወደ ላይ ይከፈታል ፣ “ሀ” አሉታዊ ከሆነ ፣ ፓራቦላ ወደ ታች ይከፈታል (ማለትም ፣ ወደ ላይ ወደታች ይመለሳል።)

• ለመደበኛ ቅጽ ምሳሌችን (ረ (x) = 2x)² + 16x + 39) ፣ እኛ ወደ ላይ ከፍ ያለ ፓራቦላ እንዳለን እናውቃለን ምክንያቱም በእኛ ቀመር ውስጥ = 2 (አዎንታዊ)።
• ለእኛ የአከርካሪ ቅርፅ ምሳሌ (f (x) = 4 (x - 5)² + 12) ፣ እኛ ደግሞ ፓራቦላ ወደ ላይ ከፍቶ እንዳለን እናውቃለን ምክንያቱም a = 4 (አዎንታዊ)።

ደረጃ 8. አስፈላጊ ከሆነ ፣ የ x መቋረጥን ፈልገው ያቅዱ።

ብዙውን ጊዜ ፣ በትምህርት ቤት ሥራ ላይ ፣ የፓራቦላ ኤክስ-አቋራጮችን እንዲያገኙ ይጠየቃሉ (ይህም ፓራቦላ ከ x ዘንግ ጋር የሚገናኝበት አንድ ወይም ሁለት ነጥቦች)። እነሱን ባያገኙም ፣ እነዚህ ሁለት ነጥቦች ትክክለኛ ፓራቦላን ለመሳል በዋጋ ሊተመን ይችላል። ሆኖም ፣ ሁሉም ፓራቦላዎች የ x- ጣልቃ ገብነቶች የላቸውም። የእርስዎ ፓራቦላ ሽቅብ ወደ ላይ ከፍ ካለ እና ከ x ዘንግ በላይ ያለው ጫፍ ካለው ወይም ወደ ታች ከከፈተ እና ከ x ዘንግ በታች ያለው ጫፍ ካለው ፣ ምንም የ x ማቋረጦች የሉትም. ያለበለዚያ ከሚከተሉት ዘዴዎች በአንዱ ለ x መቋረጥዎ ይፍቱ

• በቀላሉ f (x) = 0 ን ያዘጋጁ እና ስሌቱን ይፍቱ። ይህ ዘዴ ለቀላል ባለአራትዮሽ እኩልታዎች ፣ በተለይም በአከርካሪ መልክ ሊሠራ ይችላል ፣ ግን ለተወሳሰቡ በጣም ከባድ ይሆናል። ለምሳሌ ከዚህ በታች ይመልከቱ

  • ረ (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • ስኩዌር (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12። x = 11 እና 13 የፓራቦላ ኤክስ-መቋረጦች ናቸው።

• ቀመርዎን ያስሉ። በመጥረቢያ ውስጥ አንዳንድ እኩልታዎች² + bx + c ቅጽ በቀላሉ dx × fx = መጥረቢያ ወደሚገኝበት ቅጽ (dx + e) (fx + g)²፣ (dx × g + fx × e) = bx ፣ እና e × g = c. በዚህ ሁኔታ ፣ የእርስዎ x መቋረጦች በቅንፍ ውስጥ = 0. ቃልን የሚያመለክቱ የ x እሴቶች ናቸው።

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • በዚህ ሁኔታ ፣ የእርስዎ x መቋረጥ -1 ብቻ ነው ፣ ምክንያቱም x ን ከ -1 ጋር ማቀናበር በቅንፍ ውስጥ የተስተካከሉ ቃላትን ሁለቱንም 0 ያደርገዋል።

• አራት ማዕዘን ቀመር ይጠቀሙ። ለ x መቋረጦችዎ በቀላሉ መፍታት ካልቻሉ ወይም ቀመርዎን ማመዛዘን ካልቻሉ ፣ ለዚህ ዓላማ የተነደፈ ባለአራትዮሽ ቀመር የተባለ ልዩ ቀመር ይጠቀሙ። እሱ ቀድሞውኑ ካልሆነ ፣ ቀመርዎን ወደ ቅጽ መጥረቢያ ውስጥ ያስገቡ² + bx + c ፣ ከዚያ a ፣ b እና c ወደ ቀመር x = (-b +/- SqRt (ለ)² - 4ac))/2 ሀ. ይህ ብዙውን ጊዜ ለ x ሁለት መልሶችን እንደሚሰጥዎት ልብ ይበሉ ፣ ይህ ጥሩ ነው - ይህ ማለት የእርስዎ ፓራቦላ ሁለት x ጣልቃ -ገብነቶች አሉት ማለት ነው። አንድ ምሳሌ ከዚህ በታች ይመልከቱ-

  • -5x² +1x + 10 እንደሚከተለው በአራትዮሽ ቀመር ውስጥ ይሰካል
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14.18)/-10
  • x = (13.18/-10) እና (-15.18/-10)። የፓራቦላ x መቋረጦች በግምት x = ናቸው - 1.318 እና 1.518
  • የእኛ የቀድሞው መደበኛ ቅጽ ምሳሌ ፣ 2x² + 16x + 39 እንደሚከተለው በአራትዮሽ ቀመር ውስጥ ይሰካል
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10)
  • የአሉታዊ ቁጥር ካሬ ሥሩን ማግኘት የማይቻል ስለሆነ ያንን እናውቃለን ምንም x መቋረጥ የለም ለዚህ ልዩ ፓራቦላ አለ።

ደረጃ 9. አስፈላጊ ሆኖ ከተገኘ የ y መቋረጥን ይፈልጉ እና ያሴሩ።

ምንም እንኳን የእኩልታ y መቋረጥን (ፓራቦላ በ y ዘንግ ውስጥ የሚያልፍበትን ነጥብ) መፈለግ አስፈላጊ ባይሆንም ፣ በተለይ እርስዎ ትምህርት ቤት ውስጥ ከሆኑ ምናልባት ሊጠየቁ ይችላሉ። ይህ ሂደት በቀላሉ ቀላል ነው - x = 0 ን ብቻ ያዘጋጁ ፣ ከዚያ ቀመርዎን ለ f (x) ወይም y ይፍቱ ፣ ይህም ፓራቦላዎ በ y ዘንግ ውስጥ የሚያልፍበትን y እሴት ይሰጥዎታል። ከ x መጥለፍ በተቃራኒ ፣ መደበኛ ፓራቦላዎች አንድ y መቋረጥ ብቻ ሊኖራቸው ይችላል። ማስታወሻ - ለመደበኛ የቅጽ እኩልታዎች ፣ የ y መጥለፍ በ y = c ላይ ነው።

• ለምሳሌ ፣ የእኛን አራት ማዕዘን ቀመር 2x እናውቃለን² + 16x + 39 በ y = 39 ላይ የ y መቋረጥ አለው ፣ ግን እሱ እንዲሁ እንደሚከተለው ሊገኝ ይችላል-

  • ረ (x) = 2x² + 16x + 39
  • ረ (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • ረ (x) = 39. የፓራቦላ የ y መጥለፍ በ y = 39.

    ከላይ እንደተገለፀው ፣ የ y መጥለፍ በ y = c ላይ ነው።

• የእኛ የአከርካሪ ቅርፅ ቀመር 4 (x - 5)² + 12 እንደሚከተለው ሊገኝ የሚችል የ y መቋረጥ አለው

  • ረ (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • ረ (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • ረ (x) = 4 (-5)² + 12
  • ረ (x) = 4 (25) + 12

  • ረ (x) = 112. የፓራቦላ የ y መጥለፍ በ y = 112.

ደረጃ 10. አስፈላጊ ከሆነ ተጨማሪ ነጥቦችን ያቅዱ ፣ ከዚያ ግራፍ ያድርጉ።

አሁን ለእርሶ ቀመር ፣ አቅጣጫ ፣ የ x መጥለፍ (ቶች) ፣ እና ምናልባትም ፣ y መቋረጥ ሊኖርዎት ይገባል። በዚህ ጊዜ ፣ እርስዎ እንደ መመሪያ ያሉትን ነጥቦች በመጠቀም ፓራቦላዎን ለመሳል መሞከር ይችላሉ ፣ ወይም እርስዎ የሚስሉት ኩርባ የበለጠ ትክክለኛ እንዲሆን ፓራቦላዎን “ለመሙላት” ተጨማሪ ነጥቦችን ማግኘት ይችላሉ። ይህንን ለማድረግ ቀላሉ መንገድ በአጠገብዎ በሁለቱም በኩል ጥቂት የ x እሴቶችን መሰካት ነው ፣ ከዚያ ያገኙትን የ y እሴቶችን በመጠቀም እነዚህን ነጥቦች ማሴር ነው። ብዙውን ጊዜ መምህራን የእርስዎን ፓራቦላ ከመሳልዎ በፊት የተወሰኑ ነጥቦችን እንዲያገኙ ይጠይቁዎታል።

• ቀመርን እንደገና እንከልስ x² + 2x + 1. ብቸኛው የ x መጥለፍ በ x = -1 መሆኑን አስቀድመን እናውቃለን። እሱ በአንድ ነጥብ ላይ የ x መቋረጥን ብቻ ስለሚነካ ፣ የእሱ ጫፉ የ x መቋረጥ መሆኑን መገመት እንችላለን ፣ ይህ ማለት ጫፉ (-1 ፣ 0) ማለት ነው። እኛ ለዚህ ፓራቦላ አንድ ነጥብ ብቻ አለን - ጥሩ ፓራቦላን ለመሳል በቂ አይደለም። ትክክለኛውን ግራፍ ለመሳል ለማረጋገጥ ጥቂት ተጨማሪ እንፈልግ።

  • ለሚከተሉት የ x እሴቶች 0 ፣ 1 ፣ -2 እና -3 የ y እሴቶችን እናገኝ።
  • ለ 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. ነጥባችን ነው (0, 1).

  • ለ 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. ነጥባችን ነው (1, 4).

  • ለ -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. ነጥባችን ነው (-2, 1).

  • ለ -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. ነጥባችን ነው (-3, 4).

  • እነዚህን ነጥቦች ወደ ግራፉ ያቅዱ እና የ U- ቅርፅዎን ኩርባ ይሳሉ። ፓራቦላው ፍጹም የተመጣጠነ መሆኑን ልብ ይበሉ - በፓራቦላ በአንዱ በኩል ያሉት ነጥቦችዎ ሙሉ ቁጥሮች ላይ ሲዋሹ ፣ በሌላ በኩል ተጓዳኝ ነጥቡን ለማግኘት በፓራቦላ ዘንግ ዘንግ ላይ የተሰጠውን ነጥብ በቀላሉ በማንፀባረቅ እራስዎን አንዳንድ ስራዎችን ማዳን ይችላሉ። ከፓራቦላ።

ቪዲዮ - ይህንን አገልግሎት በመጠቀም አንዳንድ መረጃዎች ለ YouTube ሊጋሩ ይችላሉ።

ጠቃሚ ምክሮች

• በ f (x) = መጥረቢያ ውስጥ መሆኑን ልብ ይበሉ² + bx + c ፣ ቢ ወይም ሐ እኩል ዜሮ ከሆነ ፣ እነዚህ ቁጥሮች ይጠፋሉ። ለምሳሌ ፣ 12x² + 0x + 6 12x ይሆናል² + 6 ምክንያቱም 0x 0 ስለሆነ።
• የአልጀብራ አስተማሪዎ እንደሚነግርዎ ክብ ቁጥሮች ወይም ክፍልፋዮችን ይጠቀሙ። ይህ የአራትዮሽ እኩልታዎችዎን በትክክል እንዲስሉ ይረዳዎታል።