አፖሎኒያን ጋኬት በአንድ ትልቅ ክበብ ውስጥ ከሚገኙት ሁልጊዜ ከሚጠፉ ክበቦች ስብስብ የተሠራ የፍራክታል ምስል ዓይነት ነው። በአፖሎኒያን ጋስኬት ውስጥ ያለው እያንዳንዱ ክበብ በአጠገባቸው ላሉት ክበቦች ጋር የሚዛመድ ነው - በሌላ አነጋገር ፣ በአፖሎኒያ ጋስኬት ውስጥ ያሉት ክበቦች ማለቂያ በሌላቸው ትናንሽ ነጥቦች ይገናኛሉ። ለግሪካዊው የሒሳብ ሊቅ አፖሎኒየስ ፐርጋ የተሰየመ ፣ ይህ ዓይነቱ fractal ወደ ውስብስብ ደረጃ (በእጅ ወይም በኮምፒተር) ሊስብ ይችላል ፣ የሚያምር እና አስደናቂ ምስል ይፈጥራል። ለመጀመር ከዚህ በታች ደረጃ 1 ን ይመልከቱ።
ደረጃዎች
የ 2 ክፍል 1 ቁልፍ ፅንሰ ሀሳቦችን ይረዱ
ፍጹም ግልፅ ለመሆን ፣ በቀላሉ የአፖሎኒያን ጋኬት ለመሳል ፍላጎት ካለዎት ፣ ከፋራክቱ በስተጀርባ ያለውን የሂሳብ መርሆዎችን መመርመር አስፈላጊ አይደለም። ሆኖም ፣ ስለ አፖሎኒያ ጋኬቶች ጥልቅ ግንዛቤ ከፈለጉ ፣ በሚወያዩበት ጊዜ የምንጠቀምባቸውን በርካታ ጽንሰ -ሀሳቦች ትርጓሜ መረዳት አስፈላጊ ነው።
ደረጃ 1. ቁልፍ ቃላትን ይግለጹ።
ከዚህ በታች ባሉት መመሪያዎች ውስጥ የሚከተሉት ውሎች ጥቅም ላይ ይውላሉ
- አፖሎኒያን ጋስኬት - በአንድ ትልቅ ክበብ ውስጥ ተጠልለው በተከታታይ ክበቦች ውስጥ ከተካተቱ እና በአቅራቢያ ላሉት ሁሉ ታንጀንት ለተዋቀረው የ fractal ዓይነት ከብዙ ስሞች አንዱ። እነዚህም እንዲሁ “ሶዲ ክበቦች” ወይም “የመሳም ክበቦች” ይባላሉ።
- የክበብ ራዲየስ - ከክበብ ማዕከላዊ ነጥብ እስከ ጫፉ ያለው ርቀት። ብዙውን ጊዜ ተለዋዋጭ r ይመደባል።
- የክበብ ኩርባ - የራዲየሱ አወንታዊ ወይም አሉታዊ ተገላቢጦሽ ፣ ወይም ± 1/r። ከክብ ውጫዊ ውጣ ውረድ ጋር ሲገናኝ ኩርባው አዎንታዊ ሲሆን ለውስጣዊ ኩርባው አሉታዊ ነው።
- ታንጀንት - በአንድ ማለቂያ በሌለው ትንሽ ነጥብ ላይ በሚቋረጡ መስመሮች ፣ አውሮፕላኖች እና ቅርጾች ላይ የተተገበረ ቃል። በአፖሎኒያ ጋኬቶች ውስጥ ይህ የሚያመለክተው እያንዳንዱ ክበብ እያንዳንዱን በአቅራቢያ ያለ ክበብ በአንድ ነጥብ ብቻ የሚነካ መሆኑን ነው። መስቀለኛ መንገድ እንደሌለ ልብ ይበሉ - የማይነጣጠሉ ቅርጾች አይደራረቡም።
ደረጃ 2. የዴካርትስን ቲዎሪ ይረዱ።
የዴካርትስ ቲዎሪ በአፖሎኒያ ጋኬት ውስጥ ያሉትን የክበቦች መጠኖች ለማስላት የሚረዳ ቀመር ነው። የማንኛውም ሶስት ክበቦች (1/r) ኩርባዎችን (1/r) እንደ አንድ ፣ ለ ፣ እና ሐ በቅደም ተከተል ብንገልፅ ፣ ቲዎሬም የክበቡ (ወይም ክበቦች) ኩርባው ለሦስቱም ታንጀንት እንደሆነ ፣ እኛ እንደ መ የምንገልፀው: d = a + b + c ± 2 (ካሬ (a × b + b × c + c × a)).
ለዓላማችን ፣ የመደመር ምልክትን በካሬው ሥር ፊት (በሌላ አነጋገር ፣… + 2 (ካሬ) (…)) በማስቀመጥ ያገኘነውን መልስ ብቻ እንጠቀማለን። ለአሁን ፣ መቀነስን ማወቅ በቂ ነው። የእኩልታው ቅጽ በሌሎች ተዛማጅ ተግባራት ውስጥ አጠቃቀሞች አሉት።
ክፍል 2 ከ 2 - የአፖሎኒያ ጋኬት መገንባት
የአፖሎኒያን ጋኬቶች የሚያሽቆለቁሉ ክበቦችን በሚያምር የ fractal ዝግጅቶች መልክ ይይዛሉ። በሂሳብ ፣ አፖሎኒያን ጋኬቶች ማለቂያ የሌለው ውስብስብነት አላቸው ፣ ግን የኮምፒተር ስዕል መርሃ ግብር ወይም ባህላዊ የስዕል መሳሪያዎችን እየተጠቀሙ እንደሆነ ፣ ውሎ አድሮ ክበቦችን ለመሳል የማይቻልበት ደረጃ ላይ ይደርሳሉ። ልብ ይበሉ ፣ ክበቦችዎን በትክክል በሚስሉበት መጠን በጋዝኬትዎ ውስጥ የበለጠ እንደሚገጣጠሙ ልብ ይበሉ።
ደረጃ 1. የእርስዎን ዲጂታል ወይም የአናሎግ ስዕል መሣሪያዎች ይሰብስቡ።
ከዚህ በታች ባሉት ደረጃዎች ውስጥ እኛ የራሳችንን ቀላል የአፖሎኒያ ጋኬት እንሠራለን። በእጅ ወይም በኮምፒተር ላይ የአፖሎኒያ ጋኬቶችን መሳል ይቻላል። በሁለቱም ሁኔታዎች ፍጹም ክብ ክቦችን መሳል መቻል ይፈልጋሉ። ይህ በጣም አስፈላጊ ነው። በአፖሎኒያ ጋኬት ውስጥ ያለው እያንዳንዱ ክበብ በአጠገባቸው ላሉት ክበቦች ፍጹም ተዛምዶ ስለሆነ ፣ እንኳን ትንሽ የተሳሳቱ ክበቦች የመጨረሻ ምርትዎን “መጣል” ይችላሉ።
- ጋስኬትን በኮምፒተር ላይ እየሳሉ ከሆነ ፣ ከማዕከላዊ ነጥብ የቋሚ ራዲየስ ክበቦችን በቀላሉ ለመሳል የሚያስችል ፕሮግራም ያስፈልግዎታል። Gfig ፣ ለነፃ ምስል አርትዖት መርሃ ግብር GIMP የቬክተር-ስዕል ማራዘሚያ ፣ እንደ ሌሎቹ የተለያዩ የስዕል ፕሮግራሞች (እንደ አስፈላጊ አገናኞች የቁስ ክፍልን ይመልከቱ) መጠቀም ይቻላል። እንዲሁም በመጠምዘዣዎች እና በራዲዎች ላይ ማስታወሻዎችን ለመውሰድ የካልኩሌተር ትግበራ እና የቃላት ማቀናበሪያ ሰነድ ወይም አካላዊ ማስታወሻ ደብተር ያስፈልግዎታል።
- ጋስኬትን በእጅ ለመሳል ፣ ካልኩሌተር (ሳይንሳዊ ወይም ግራፊክስ የተጠቆመ) ፣ እርሳስ ፣ ኮምፓስ ፣ ገዥ (በተለይም በሚሊሜትር ምልክቶች ፣ በግራፍ ወረቀት እና በማስታወሻ ደብተር ማስታወሻ ደብተር) ያስፈልግዎታል።
ደረጃ 2. በአንድ ትልቅ ክበብ ይጀምሩ።
የመጀመሪያው ሥራዎ ቀላል ነው - አንድ ትልቅ ፣ ፍጹም ክብ ክብ ይሳሉ። ክበቡ ትልቅ ከሆነ ፣ ጋስኬትዎ የበለጠ የተወሳሰበ ሊሆን ይችላል ፣ ስለዚህ ወረቀትዎ በሚፈቅደው መጠን ወይም በአንድ መስኮት ውስጥ በቀላሉ ማየት የሚችሉትን ያህል ክብ ለማድረግ ይሞክሩ።
ደረጃ 3. በመነሻው ውስጥ አነስ ያለ ክበብ ይፍጠሩ ፣ በአንደኛው በኩል ታንጀንት ያድርጉ።
በመቀጠል ፣ ከመጀመሪያው ውስጥ ትንሽ ፣ ግን አሁንም በጣም ትልቅ የሆነ ሌላ ክበብ ይሳሉ። የሁለተኛው ክበብ ትክክለኛ መጠን በእርስዎ ላይ ነው - ትክክለኛ መጠን የለም። ሆኖም ፣ ለእኛ ዓላማዎች ፣ የእኛን ሁለተኛ ክበብ በትልቁ ውጫዊ ክብችን ውስጥ በግማሽ ያህል በትክክል እንዲደርስ እናድርገው። በሌላ አነጋገር ፣ ማዕከላዊ ነጥቡ የትልቁ ክብ ራዲየስ መካከለኛ ነጥብ እንዲሆን ሁለተኛ ክብችንን እንሳል።
ያስታውሱ በአፖሎኒያ ጋኬቶች ውስጥ ፣ የሚነኩ ሁሉም ክበቦች እርስ በእርስ የሚዛመዱ ናቸው። ክበቦችዎን በእጅ ለመሳብ ኮምፓስ የሚጠቀሙ ከሆነ ፣ ትልቁን የክበብ ጠርዝ እንዲነካ ፣ እርሳስዎን በማስተካከል ፣ በትልቁ የውጭ ክበብ ራዲየስ መሃል ላይ የኮምፓሱን ሹል ነጥብ በማስቀመጥ ይህንን ውጤት እንደገና ይፍጠሩ ፣ ከዚያ ትንሹን ውስጣዊ ክበብዎን ይሳሉ።
ደረጃ 4. አነስተኛውን የውስጠኛው ክበብ “ተሻግሮ” አንድ ተመሳሳይ ክበብ ይሳሉ።
በመቀጠልም ከመጀመሪያው ክበብችን ሌላ ክበብ እንሳል። ይህ ክበብ ለሁለቱም ለትልቁ ውጫዊ ክበብ እና ለትንሹ ውስጣዊ ክበብ ተዛምዶ መሆን አለበት ፣ ይህ ማለት ሁለቱ ውስጣዊ ክበቦችዎ በትልቁ ውጫዊ ክበብ ትክክለኛ መሃል ላይ ይነካሉ ማለት ነው።
ደረጃ 5. የሚቀጥሉት ክበቦችዎን መጠን ለማግኘት የ Descartes theorem ን ይተግብሩ።
እስቲ ለአፍታ መሳል ይብቃን። አሁን በጋስኬታችን ውስጥ ሶስት ክበቦች ስላሉን ፣ እኛ የምንሳልፈውን ቀጣዩ ክበብ ራዲየስ ለማግኘት የዴካርትስን ቲዎሪ መጠቀም እንችላለን። የዴካርትስ ቲዎሪ መሆኑን ያስታውሱ d = a + b + c ± 2 (ካሬ (a × b + b × c + c × a)) ፣ ሀ ፣ ለ ፣ እና ሐ የሶስት ታንጀንት ክበቦችዎ ኩርባዎች ሲሆኑ d ደግሞ ለሦስቱም የክብ ታንጀንት ኩርባ ነው። ስለዚህ ፣ የሚቀጥለውን ክብችን ራዲየስ ለማግኘት ፣ እኛ እስካሁን ያለውን እያንዳንዱን ክበቦች ኩርባ እናገኛለን ፣ ስለዚህ የሚቀጥለውን ክበብ ኩርባ ለማግኘት እና ይህን ወደ ራዲየሱ ይለውጡ።
-
የውጪ ክብችን ራዲየስ እንደ ሆነ እንገልፃለን
ደረጃ 1. ሌሎቹ ክበቦች በዚህ ውስጡ ውስጥ ስለሆኑ እኛ ከውስጣዊ ኩርባው (ከውጭው ጠመዝማዛ ይልቅ) ጋር እየተገናኘን ነው ፣ እና ስለሆነም ፣ ኩርባው አሉታዊ መሆኑን እናውቃለን። -1/r = -1/1 = -1. ትልቁ ክበብ ጠመዝማዛ ነው - 1.
-
የትንሹ ክበቦች ራዲየስ እንደ ትልቅ ክበብ ግማሽ ያህል ትልቅ ነው ፣ ወይም በሌላ አነጋገር 1/2። እነዚህ ክበቦች እርስ በእርሳቸው እና ትልቁን ክበብ ከውጭ ጫፋቸው ጋር ስለሚነኩ ፣ እኛ ከውጭ ኩርባአቸው ጋር እንገናኛለን ፣ ስለዚህ ኩርባዎቻቸው አዎንታዊ ናቸው። 1/(1/2) = 2. የትንሹ ክበቦች ኩርባዎች ሁለቱም ናቸው
ደረጃ 2.
-
አሁን ፣ ለዴካርቴስ ቲዎሪ እኩልታችን ሀ = -1 ፣ ለ = 2 እና c = 2 መሆኑን እናውቃለን። ለ d እንፈታ
- d = a + b + c ± 2 (ካሬ (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (ካሬ (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (ካሬ (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
መ = 3. ቀጣዩ ክብችን ኩርባ ነው
ደረጃ 3. ከ 3 = 1/r ጀምሮ ፣ ቀጣዩ ክብችን ራዲየስ ነው 1/3.
ደረጃ 6. ቀጣዩን የክበቦችዎን ስብስብ ይፍጠሩ።
ቀጣዮቹን ሁለት ክበቦችዎን ለመሳል አሁን ያገኙትን ራዲየስ እሴት ይጠቀሙ። ያስታውሱ እነዚህ በዴካርትስ ቲዎሬም ውስጥ ለ ፣ ለ እና ለ ሐ የተጠቀሙባቸው ኩርባዎችዎ ክበቦች እንደሚሆኑ ያስታውሱ። በሌላ አነጋገር ፣ ለሁለቱም ለዋና እና ለሁለቱም ክበቦች ታንጀንት ይሆናሉ። እነዚህ ክበቦች ለሦስቱም ክበቦች ታንጀንት እንዲሆኑ ፣ በትልቁ ኦሪጅናል ክበብዎ ውስጥ ባለው አካባቢ ከላይ እና ታች ባለው ክፍት ቦታዎች ውስጥ መሳል ያስፈልግዎታል።
ያስታውሱ የእነዚህ ክበቦች ራዲዎች ከ 1/3 ጋር እኩል ይሆናሉ። ከውጭው ክበብ ጠርዝ 1/3 ጀርባ ይለኩ ፣ ከዚያ አዲሱን ክበብዎን ይሳሉ። ለሦስቱም የአከባቢ ክበቦች ታንጀንት መሆን አለበት።
ደረጃ 7. ክበቦችን ማከል ለመቀጠል በዚህ ፋሽን ይቀጥሉ።
እነሱ fractals በመሆናቸው የአፖሎኒያ ጋኬቶች ማለቂያ የሌለው ውስብስብ ናቸው። ይህ ማለት በልብዎ ይዘት ውስጥ ትናንሽ እና ትናንሽ ክበቦችን ማከል ይችላሉ። የተገደበዎት የመሣሪያዎችዎ ትክክለኛነት ብቻ ነው (ወይም ፣ ኮምፒተርን የሚጠቀሙ ከሆነ ፣ የስዕል መርሃ ግብርዎ “ለማጉላት” ችሎታ)። እያንዳንዱ ክበብ ፣ ምንም ያህል ትንሽ ቢሆን ፣ ለሦስት ሌሎች ክበቦች ታንጀንት መሆን አለበት። እያንዳንዱን ቀጣይ ክበብ በእርስዎ ጋስኬት ውስጥ ለመሳል ፣ እሱ የሚስማማውን የሶስት ክበቦችን ኩርባዎች ወደ Descartes theorem ያያይዙት። ከዚያ አዲሱን ክበብዎን በትክክል ለመሳል መልስዎን (የአዲሱ ክበብዎ ራዲየስ ይሆናል) ይጠቀሙ።
- ልብ ይበሉ እኛ ለመሳል የመረጥነው gasket የተመጣጠነ ነው ፣ ስለዚህ የአንዱ ክበብ ራዲየስ “ከእሱ ማዶ” ጋር ካለው ተጓዳኝ ክበብ ጋር ተመሳሳይ ነው። ሆኖም ፣ እያንዳንዱ የአፖሎኒያ ጋኬት ሚዛናዊ እንዳልሆነ ይወቁ።
-
አንድ ተጨማሪ ምሳሌ እንመልከት። እንበል ፣ የመጨረሻውን የክበቦቻችንን ስብስብ ከሳልን በኋላ ፣ አሁን ታንጀንት የሆኑትን ክበቦች ወደ ሦስተኛው ስብስባችን ፣ ሁለተኛ ስብስባችን እና ትልቁን ውጫዊ ክብችንን መሳል እንፈልጋለን። የእነዚህ ክበቦች ኩርባዎች በቅደም ተከተል 3 ፣ 2 እና -1 ናቸው። እነዚህን ቁጥሮች በ Descartes Theorem ውስጥ እናስገባቸው ፣ a = -1 ፣ b = 2 ፣ እና c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (ካሬ (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (ካሬ (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (ካሬ (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (ካሬ (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. ሁለት መልሶች አሉን! ሆኖም ፣ አዲሱ ክበታችን ከሚነካቸው ክበቦች ሁሉ ያነሰ እንደሚሆን ስለምናውቅ ፣ ጥምዝ ብቻ
ደረጃ 6 (እና ስለዚህ ራዲየስ 1/6) ስሜት ይሰጣል.
- ሌላኛው መልሳችን ፣ 2 ፣ በእውነቱ በሁለተኛው እና በሦስተኛው ክበቦቻችን የታንጀንት ነጥብ ማዶ ላይ ያለውን ግምታዊ ክበብ ያመለክታል። ይህ ክበብ ነው ለሁለቱም ክበቦች እና ለትልቁ ውጫዊ ክበብ ታንጀንት ፣ ግን እኛ አስቀድመን የሳልናቸውን ክበቦች ያቋርጣል ፣ ስለዚህ ችላ ልንለው እንችላለን።
ደረጃ 8. ለፈተና ፣ የሁለተኛውን ክበብዎን መጠን በመቀየር ሚዛናዊ ያልሆነ አፖሎኒያን ጋኬት ለመሥራት ይሞክሩ።
ሁሉም የአፖሎኒያን ጋኬቶች ተመሳሳይ ይጀምራሉ - እንደ fractal ጠርዝ ሆኖ በሚሠራ ትልቅ የውጭ ክበብ። ሆኖም ፣ ሁለተኛው ክበብዎ የግድ የመጀመሪያው 1/2 ራዲየስ እንዲኖረው የሚያደርግ ምንም ምክንያት የለም - እኛ ይህን በቀላሉ ለማድረግ መርጠናል ምክንያቱም ለመረዳት ቀላል እና ለመረዳት ቀላል ነው። ለመዝናናት ፣ ከሌላ መጠን ሁለተኛ ክበብ ጋር አዲስ Gasket ን ለመጀመር ይሞክሩ - ይህ ወደ አስደሳች አዲስ የፍለጋ መንገዶች ይመራል።
